Ein Franken ist nicht immer einen
Franken wert
George Szpiro
NZZ am Sonntag, 2.
Juni 2002
Wie das St. Petersburger Paradox zur
Grundlage der Versicherungswirtschaft wurde
Im Jahre 1713
stellte der Basler Mathematiker Nikolaus Bernoulli (1687 bis 1759) eine
Frage zu folgendem Spiel. Man nehme eine Münze und werfe sie in die Luft.
Zeigt sie Kopf, erhält man zwei Taler. Andernfalls wiederhole man den
Wurf. Landet die Münze nun mit Kopf nach oben, bekommt der Spieler vier
Taler. Und so weiter. Bei jedem erfolglosen Wurf verdoppelt sich die
Preissumme. Nach n Würfen bekommt der Spieler also 2n Taler ausbezahlt,
falls dann erstmals der Kopf erscheint. Nach 30 Würfen entspricht dies
einer Gewinnsumme von etwas über eine Milliarde Taler.
Gigantische Gewinne
Nun die Frage: Wie viel
würde ein Hasardeur bezahlen, um an einem solchen Spiel teilzunehmen?
Die meisten Menschen würden wohl zwischen fünf und zwanzig Franken
bieten. Aber ist das richtig? Einerseits besteht bloss eine
25-prozentige Chance, mehr als vier Franken zu gewinnen. Andererseits
kann der mögliche Gewinn enorm sein, denn die Wahrscheinlichkeit, eine
sehr lange Reihe von «Zahl» zu werfen, bevor das erste Mal «Kopf» fällt,
ist zwar sehr klein, aber durchaus nicht null. Das gigantische Preisgeld,
das einem in diesem Fall winkt, macht die verschwindend kleine
Gewinnchance wett. Nikolaus Bernoulli hatte sogar ausgerechnet, dass der
Erwartungswert des Gewinns unendlich gross ist! (Der Erwartungswert
berechnet sich, indem man den möglichen Gewinn mit der
Wahrscheinlichkeit seines Eintretens multipliziert.)
Und hierin besteht ein
Paradox: Wenn der Erwartungswert des Spiels unendlich gross ist, wieso
ist dann niemand bereit, für die Teilnahme an dem Spiel hunderttausend,
zehntausend oder auch nur tausend Franken zu bezahlen?
Die Erklärung des
rätselhaften Verhaltens tangiert die Gebiete der Statistik, Psychologie
und Wirtschaftswissenschaften. Es waren zwei Mathematiker, der Genfer
Gabriel Cramer (1704 bis 1752) und der Vetter von Nikolaus, Daniel
Bernoulli (1700 bis 1782), die eine Lösung vorschlugen. In einem Artikel
hatten die beiden postuliert, dass der Nutzen, den ein Franken seinem
Besitzer bringt, nicht immer gleich gross ist. Ein Franken bietet
nämlich einem Bettler mehr Nutzen als einem Millionär. Während der
Besitz eines zusätzlichen Frankens für den ersten bedeuten könnte, dass
er am Abend nicht hungrig schlafen geht, würde Letzterer den Zuwachs
seines Reichtums um einen Franken gar nicht bemerken. In der gleichen
Art würde der Gewinn der zusätzlichen Milliarde, die nach dem 31. Wurf
zu erwarten ist, nicht den gleichen Nutzen bringen wie die erste
Milliarde, die man schon beim 30. Wurf erhalten hätte. Der Nutzen von
zwei Milliarden Franken ist eben nicht doppelt so hoch wie der Nutzen
einer einzigen Milliarde. Und da liegt die Erklärung für das Geheimnis.
Ausschlaggebend ist nämlich der Erwartungsnutzen des Spiels (der Nutzen
des möglichen Gewinns, multipliziert mit seiner Wahrscheinlichkeit), der
viel, viel tiefer liegt als der Erwartungswert.
Daniel Bernoullis
Abhandlung wurde in den «Kommentaren der kaiserlichen Akademie der
Wissenschaften von St. Petersburg» publiziert, und die überraschende
Erkenntnis wurde fortan St. Petersburger Paradox genannt.
Etwa 1940 wurde die Idee
der Nutzenfunktion am Institute of Advanced Studies in Princeton von
zwei Emigranten aus Europa aufgegriffen. John von Neumann (1903 bis
1957), einer der überragenden Mathematiker des 20. Jahrhunderts, musste
wegen seiner Religionszugehörigkeit vor den Nazis aus Ungarn fliehen,
und der Ökonom Oskar Morgenstern (1902 bis 1976) hatte Österreich wegen
seiner Abscheu gegenüber dem Nationalsozialismus verlassen.
Spieltheorie
In Princeton taten sich
die beiden zusammen, um einen kurzen Aufsatz über die Theorie der
Gesellschaftsspiele zu schreiben. Die Abhandlung wuchs und wuchs, bis
sie schliesslich im Jahre 1944 als 600-seitiges Opus mit dem Titel
«Theory of Games and Economic Behavior» erschien. In diesem
bahnbrechenden Werk, das einen profunden Einfluss auf die weitere
Entwicklung der Wirtschaftswissenschaften ausübte, wurde die
Nutzenfunktion von Bernoulli und Cramer als Axiom dem Verhalten des
sprichwörtlichen Homo oeconomicus zugrunde gelegt.
Bald wurde jedoch bemerkt,
dass Versuchspersonen in Situationen mit sehr tiefen
Wahrscheinlichkeiten und sehr hohen Geldsummen oft Entscheidungen
treffen, die gegen die postulierten Axiome verstossen. Die Ökonomen
liessen sich dadurch nicht beirren. Die Theorie sei schon richtig,
meinten sie, aber ein Grossteil der Menschen handele einfach irrational.
Trotzdem hatte die
Nutzentheorie eine weitreichende Auswirkung. Bernoullis und Cramers
Erklärung für das St.-Petersburg-Paradox schaffte die theoretische
Grundlage für die Versicherungswirtschaft. Die Existenz einer
Nutzenfunktion bedeutet nämlich, dass die meisten Menschen lieber 98
Franken besitzen, als sich an einer Lotterie zu beteiligen, bei der mit
je 50-prozentiger Chance 70 oder 130 Franken gewonnen werden. Und dies,
obwohl die Lotterie den höheren Erwartungswert von 100 Franken besitzt.
Der Unterschied von zwei Franken ist die Prämie, die die meisten von uns
bereit wären, für den Abschluss einer Versicherung zu bezahlen.
Dass viele Menschen mit
dem Abschluss einer Versicherung einem Risiko aus dem Weg gehen, aber
mit dem Kauf von Toto- und Lotto-Karten gleichzeitig ein anderes Risiko
freiwillig auf sich nehmen, ist ein weiteres Paradox, das einer
Erklärung bedarf.
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