Primzahlen gelten als die «Atome des Zahlenreiches». Seit
Jahrtausenden erforscht, bieten sie auch heute noch Stoff für
Überraschungen. Zwei spanische Mathematiker haben kürzlich entdeckt,
dass die vordersten Ziffern der Primzahlen ungleich verteilt sind.
gsz.Primzahlen
- Zahlen, die nur durch eins oder sich selbst dividiert werden können -
faszinieren die Menschheit seit Jahrtausenden. Schon die alten Griechen
untersuchten diese Atome des Zahlenreiches, und auch heute noch bilden
sie ein fruchtbares Forschungsgebiet. Kürzlich haben zwei spanische
Mathematiker in der Folge der Primzahlen ein Muster entdeckt, das bisher
unbemerkt geblieben war.1
Suche nach Mustern
in der Verteilung
Wie
die Primzahlen innerhalb der Folge aller ganzen Zahlen verteilt sind,
ist bis heute nicht bekannt. Zwischen 1 und 1000 gibt es zum Beispiel
168 Primzahlen, zwischen 100 000 und 101 000 bloss 81. 1792 fand der
damals 15-jährige Carl Friedrich Gauss eine Formel, welche die
Häufigkeit der Primzahlen näherungsweise angibt. Zweihundert Jahre
später, im Jahre 1896, bewiesen Charles de la Vallée-Poussin und Jacques
Hadamard unabhängig voneinander, dass eine Variante dieser Formel
tatsächlich richtig ist. Aber viel mehr ist zur Verteilung der
Primzahlen auch heute nicht bekannt, ausser der Tatsache, dass diese
Verteilung eng mit den Nullstellen der sogenannten Riemannschen
Zeta-Funktion zusammenhängt.
Bartolo Luque und Lucas Lacasa von der Universidad Politécnica in
Madrid beschäftigten sich allerdings mit einem anderen Aspekt der
Primzahlen, nämlich der Verteilung ihrer führenden Ziffern. (Die
Primzahlen 23, 271 und 2087 haben zum Beispiel die 2 als führende
Ziffern.) Man würde meinen, dass je etwa ein Neuntel der Primzahlen mit
den Ziffern 1 bis 9 beginnen. Für die unendlich grosse Menge von
Primzahlen wurde tatsächlich bewiesen, dass die führenden Ziffern
gleichmässig verteilt sind. Aber bei beschränkten Zahlenfolgen sieht es
anders aus, wie die beiden Mathematiker herausfanden. Wenn bloss
Primzahlen bis zu einer gewissen Obergrenze betrachtet werden, gehorchen
die führenden Ziffern einer sogenannten Benford-Verteilung.
Benford-Verteilungen wurden 1938 durch den Physiker Frank Benford
bekannt gemacht. Er hatte bemerkt, dass in empirischen Datensätzen (etwa
Börsenkursen, Bilanzen von Firmen, Längen von Flüssen oder der
Einwohnerzahl von Städten) die führenden Ziffern der Zahlen nicht
gleichmässig verteilt sind. In 30 Prozent der Fälle erscheint die 1 als
führende Ziffer, in 18 Prozent die 2 und so weiter bis zur 9, die in
weniger als 5 Prozent der Fälle an erster Stelle steht. Das Phänomen
lässt sich in vielen Fällen durch Wachstumsprozesse erklären. Zum
Beispiel benötigt eine Aktie, deren Wert jährlich um 10 Prozent zunimmt,
acht Jahre, um von einem Kurs von 100 Franken auf 200 Franken zu
gelangen, aber bloss zwei Jahre, um von 800 auf 900 Franken zu wachsen.
Deshalb gibt es, wie man auf den Börsenseiten jeder Tageszeitung
nachprüfen kann, viel mehr Aktienkurse mit einer führenden 1 als mit
einer führenden 9.
Der Befund von Benford lässt sich auf Datensätze verallgemeinern, die
durch Potenzgesetze der Form 1/x^alphageneriert
werden. In solchen Fällen genügen die führenden Ziffern der Zahlen einer
verallgemeinerten Benford-Verteilung, in die der Parameteralphaeingeht.
Dabei gilt: Je grösser der Parameteralphaist,
desto stärker weichen die führenden Ziffern von einer Gleichverteilung
ab. Die normale Benford-Verteilung ergibt sich für den Spezialfallalpha=1,
währendalpha=0 einer
Gleichverteilung entspricht.
Ursache unklar
Zu
ihrer Überraschung stellten Luque und Lacasa fest, dass die führenden
Ziffern der Primzahlen ebenfalls einer verallgemeinerten
Benford-Verteilung gehorchen, wenn die Menge der Primzahlen nach oben
begrenzt ist. Unter den Primzahlen, die kleiner sind als 10 000, weisen
13 Prozent eine führende 1 auf; die Häufigkeiten nehmen dann ab bis zur
9, die bloss in 10,3 Prozent der Fälle als führende Ziffer auftritt.
Ausserdem stellten die beiden fest, dass sich die führenden Ziffern der
Gleichverteilung nähern, je höher die Obergrenze gesetzt wird. Bei
Primzahlen bis zu hundert Milliarden betragen die Prozentsätze zum
Beispiel 11,7 für die 1 und 10,8 für die 9.
Es gibt keinen ersichtlichen Grund dafür, dass Primzahlen einer
Benford-Verteilung gehorchen sollten. Deshalb können die Verfasser des
Artikels über die Ursache des Phänomens bloss spekulieren. Wie der junge
Gauss entdeckt hatte, ist die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen einer Zahl
zwischen 1 und x zufällig eine Primzahl zu erwischen, näherungsweise
1/log x. Die formale Ähnlichkeit dieses Ausdrucks mit einem Potenzgesetz
lässt die Autoren vermuten, dass dies die Ursache für das neu entdeckte
Muster der Primzahlen sein könnte.
1 Proceedings
of the Royal Society A. Online-Publikation vom 22.
